1. 理想状态的数学公式（连续型）

这是你在教科书上看到的原始公式，它基于时间 $t$ 的积分和导数：

$$u(t) = K_p \cdot e(t) + K_i \int_{0}^{t} e(\tau) d\tau + K_d \frac{de(t)}{dt}$$

• $u(t)$: 控制器的输出（比如 PWM 占空比）。

• $e(t)$: 偏差，即 $Target - Measured$（目标值 - 当前值）。

2. 编程使用的公式（离散型）

单片机（STM32）是数字系统，无法进行连续积分。我们每隔一段时间（采样周期 $\Delta t$）计算一次误差。

方案 A：位置式 PID（最适合舵机/人脸跟踪）

它直接计算出当前的目标输出值。

$$Output = K_p \cdot err(n) + K_i \sum_{i=0}^{n} err(i) + K_d \cdot [err(n) - err(n-1)]$$

• 比例项 (P): $K_p \times \text{当前误差}$。

• 积分项 (I): $K_i \times \text{所有历史误差的总和}$。

• 微分项 (D): $K_d \times (\text{当前误差} - \text{上一次误差})$。

方案 B：增量式 PID（最适合直流电机调速）

它计算的是输出的改变量（这次比上次增加或减少多少）。

$$\Delta Output = K_p [err(n) - err(n-1)] + K_i \cdot err(n) + K_d [err(n) - 2err(n-1) + err(n-2)]$$

• 优点：不需要累加误差，计算量小，且当电脑或系统崩溃时，输出不会剧变，更安全。